Ma qualcosa il concetto di infinito ce l'ha ancora in serbo; in cauda venenum. Perché non tutto è riconducibile a quel "Basterebbe avere a disposizione un tempo infinito per riuscirci." L'affermazione con cui invece tocca chiudere il discorso, rimette in gioco l'alterazione, il rendere altro, inconciliabile, ciò di cui si parlava, cosa che tanto affascinava Borges nel suo pensare all'infinito. Perché un libro come quello appena descritto, non sarebbe possibile leggerlo, neppure disponendo di un tempo infinito.
In questo ultimo articolo non farò altro che utilizzare il metodo diagonale di Cantor per dimostrare matematicamente questa affermazione.
Innanzitutto: che cosa di fatto sto cercando di dimostrare, quando dico che un libro come questo non è possibile leggerlo? Nell'articolo precedente ho mostrato che ogni capitolo di un libro in cui ad ogni capitolo seguano infiniti capitoli successivi è associabile biunivocamente a un numero intero. Quindi è possibile progettare un modo per scrivere ogni capitolo. Nel presente articolo voglio invece mostrare come, se noi volessimo definire un modo per leggere questo libro infinitamente ramificato, qualsiasi approccio tentassimo, comunque non arriveremmo mai a definire un modo per riuscire a leggere ogni possibile storia, intendendo con storia una "scelta" di successioni di capitoli.
Mi spiego meglio: mettiamo che io legga per prima la "storia" data dal primo capitolo, a cui fa seguito il primo seguito possibile; a questo fa seguito ulteriormente il primo dei seguiti possibili e così via fino all'infinito. Letta questa prima storia, mettiamo che io dica che la seconda sia quella che al capitolo iniziale, fa seguire il secondo seguito, quindi il secondo seguito di quest'ultimo e così via. Ipotizziamo che io riesca a generalizzare questa impostazione fino a fornire una regola, per quando complessa, che mi permetta di numerare tutte le storie in modo da poterle leggere tutte. Chiaramente ognuna di queste storie richiederebbe un tempo infinito, constando di infiniti capitoli. Ma mettiamo anche di averlo, questo tempo infinito a disposizione. Ecco, la mia affermazione, data questa premessa, diventa: non esiste un modo per ordinare le storie e poterle leggere tutte (diversamente dal fatto che, invece, prima ho proprio mostrato che esiste un modo per scrivere tutti i capitoli di cui sono composte). Qualsiasi regola venga ideata per leggere queste storie, esisterà sempre una storia non compresa in questa regola.
Il Metodo diagonale di Cantor
Il metodo di dimostrazione che userò è stato ideato da Georg Cantor per dimostrare che l'ordine di infinito dei numeri reali non è lo stesso dei numeri interi. Si tratta di una dimostrazione semplice e potente, come vedrete. Eppure non contenta tutti i matematici, dato che si tratta di una dimostrazione per assurdo: quindi sfrutta pesantemente la logica aristotelica del terzo escluso. Lo schema logico infatti è: voglio dimostrare A; ebbene, se assumo che valga non A e conduco a un assurdo, allora ho dimostrato che non poteva non essere non A. E quindi deve essere A. L'ultimo passaggio non convince i matematici cosiddetti costruttivisti, che poggiano le loro dimostrazioni sul mostrare che A esiste non per negazione di non A. Il discorso, ancorché interessante, non lo continuerò oltre. In rete sono molti i riferimenti a questa branca della matematica.
Veniamo alla dimostrazione: ammettiamo quindi per assurdo che esista un criterio per ordinare tutte le possibili storie (un criterio che io, a priori, non so quale sia). Mostrerò ora che affermare una cosa come questa porta a una contraddizione logica.
Bene, siccome tutte le storie partono dal capitolo iniziale, prendiamo per buono questo capitolo e occupiamoci solo dei suoi seguiti infiniti e infinitamente ramificati.
La prima storia sarà una storia che avrà, come secondo capitolo, uno qualsiasi dei seguiti del capitolo uno. Uno e uno solo, dato che la storia è proprio una scelta fra gli infiniti capitoli che seguono al primo. Ebbene, e qui sta la dimostrazione, immaginiamo di definire una ulteriore storia che parta dal capitolo iniziale e che abbia, come secondo capitolo, un seguito diverso rispetto alla "prima" storia (prima, ripeto, secondo la regola che supponiamo esista e che mette in ordine tutte le possibili storie). Quindi abbiamo una prima storia e una "nostra storia" che differiscono per il secondo capitolo.Potrebbe però ancora essere che la nostra storia, che pure differisce dalla prima, abbia un suo ordine in questa successione generale delle storie che stiamo immaginando di poter creare.
Continuiamo: la seconda storia data dalla successione avrà, al terzo passo, un certo seguito. E anche la nostra storia avrà un ulteriore seguito; semplicemente avremo cura di scegliere un seguito diverso rispetto alla seconda storia della nostra ipotetica successione ordinante.
E continuiamo così per ogni storia delle infinite storie che abbiamo supposto esistessero. Ad ogni nuova storia noi scegliamo un ulteriore capitolo per la "nostra" storia. Di fatto che cosa stiamo facendo? Stiamo costruendo una nostra storia. Ma questa storia nostra non sarà uguale alla prima storia della successione ordinante, dato che sono diverse nel capitolo di ordine 1; ma non sarà uguale nemmeno alla seconda storia, dato che le abbiamo imposto di essere diversa dalla storia di ordine 2; e così via.
Che cosa otteniamo? Di avere costruito una ulteriore storia, perfettamente legittima in quanto ottenuta, come ogni altra storia, semplicemente scegliendo un seguito; eppure una storia diversa da tutte le storie della successione ordinante. E proprio qui sta l'assurdo: abbiamo ipotizzato di poter mettere in ordine tutte le storie possibili, ed ecco che siamo riusciti a trovarne un'altra, che però in questa successione proprio non ci può stare, perché è diversa, almeno in un punto, da ogni storia di questa successione. Ma allora era assurdo immaginare che questa successione ordinante di storie esistesse.
E quindi, tornando al nostro libro: se anche lo abbiamo potuto scrivere, ora non ci è possibile leggerlo. Nessun algoritmo, nessuna regola, nessun ragionamento ci permetterà mai di leggere tutte le storie che abbiamo scritto, ma ce ne saranno sempre infinite che rimarranno fuori dal nostro tentativo di ordinarle e di poterle in qualche modo contenere.
Più asetticamente i matematici usano esprimere questo stesso concetto affermando che la cardinalità delle parti di un insieme infinito e numerabile, cioè in corrispondenza biunivoca con i numeri Naturali, è maggiore della cardinalità dell'insieme stesso.