Verità e dimostrazioni

Nonostante la matematica sia uno studio di tautologie, di conseguenze necessarie anche se non evidenti degli assunti iniziali, non è banale non solo determinare in che direzione erigere il castello di asserzioni inconfutabili, dato che la direzione è data dall'imponderabile valore di ciò che si afferma, ma nemmeno in che cosa consista effettivamente dimostrare. Certo la matematica è l'unica scienza esatta di cui disponiamo: non esiste infatti un'altra disciplina che possa vantare l'inconfutabilità -il teorema di Pitagora è coevo alla teoria eliocentrica; ma quale delle due affermazioni non ha potuto in duemila anni, né lo potrà in un milione, essere confutata? Tuttavia: in che cosa consiste effettivamente dimostrare un teorema? In questo e nei prossimi due articoli mi propongo di descrivere brevemente, e nei limiti delle mie ristrette conoscenze, che cosa significa, in matematica, il concetto di Verità dimostrata.

Cominciamo con il considerare queste quattro forme di verità, terreno comune dei matematici:

1. Verità assiomatiche;
2. Dimostrazioni per costruzione;
3. Dimostrazioni per assurdo;
4. Altri tipi di dimostrazioni.

Il resto del presente articolo sarà dedicato a una breve descrizione del concetto di verità assiomatica; i punti 2 e 3 sono lasciati al prossimo articolo. Nell'ultimo articolo parlerò di un altro recente tipo di dimostrazione, che più di ogni altra solleva dubbi e dibattiti.

Verità assiomatiche

L'assioma, in matematica, è il mattone su cui si fonda l'edificio. Ha la peculiarità di essere del tutto arbitrario, anche se la cosa può sembrare paradossale. Certo non è arbitrario scegliere un assioma piuttosto che un altro, purché su questi si possa fondare un edificio abitabile. Ma già al momento della fondazione dell'edificio, i matematici si sdoppiano e si triplicano... perché accettato che ci siano assiomi, che gli assiomi "siano dati" e non siano dimostrabili, in realtà i matematici stanno silenziosamente dichiarando: tutto ciò che può legittimamente essere rappresentato con questi assiomi, sarà soggetti alle medesime conseguenze a cui sono soggetti gli oggetti iniziali (solitamente numeri o figure geometriche) che sono stati decostruiti fino ad essere basati su tali assiomi.

Gli assiomi sono verità che non si possono dimostrare. Su cinque assiomi è costruita la geometria Euclidea (anche se Hilbert arrivava a una lista di 23 assiomi per poter davvero costruirci sopra una geometria); su cinque assiomi si fondano i numeri naturali, secondo la de-costruzione di Peano.

Prendo da Wikipedia i cinque assiomi di Euclide:

1. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta;
2. Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente;
3. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio;
4. Tutti gli angoli retti sono uguali;
5. Se una retta che taglia altre due rette determina dallo stesso lato di ciascuna retta angoli interni minori di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli sono minori di due retti.

Prendo da Wikipedia i cinque assiomi di Peano:

Ma, e qui viene il bello; a partire dal lavoro di David Hilbert del XIX secolo, abbiamo ottenuto un ribaltamento concettuale di estrema portata: tutto ciò che costituisce una valida rappresentazione dei concetti utilizzati (non descritti) negli assiomi, sarà anche soggetto alle loro conseguenze. Vorrei essere leggermente più esplicito:

• Consideriamo tutti i termini che rappresentano elementi all'interno degli assiomi (ad esempio: punto, retta, angolo, segmento, ecc.; ma direi anche "prolungare" e "indefinitamente" a essere rigorosi, e così via); diciamo che questi termini costituiscono il nostro Dizionario "D0"
• Consideriamo un Dizionario alternativo "D1" di elementi che in qualche modo possono essere "incastrati" negli assiomi ottenendo predicati che abbiano un senso e che siano altrettanto "veri" all'interno del dominio rappresentato da D1

Ebbene: quello che abbiamo ottenuto sarà un nuovo "dominio", i cui elementi saranno magari "reazioni chimiche", o "note musicali", o "geni di animali marsupiali", ecc., per i quali varranno le stesse deduzioni logiche della Geometria Euclidea "applicata" a punti, rette e angoli... Anche in questo "dominio" basato su D1 varrà, per dirne uno, il teorema di Pitagora.

Allo stesso modo gli assiomi di Peano mostrano che i numeri naturali non sono più nemmeno un'astrazione dagli elementi concreti di un insieme, ma che possono essere ricavati da un'astrazione di livello superiore. Numero naturale è un'etichetta astratta che può essere predicata di qualsiasi insieme infinito di elementi per i quali valga il principio di induzione. Il concetto di numero primo può quindi essere astratto ed essere predicato anche per enti differenti dai numeri, così come il teorema della loro infinità o le congetture che li accompagnano, come la congettura di Goldbach (ogni numeri pari maggiore di 2 è dato dalla somma di due numeri primi), quella dei numeri primi gemelli (esistono infiniti numeri primi p tali per cui anche p+2 è primo), per dirne solo due delle più semplici da scrivere (ma che tuttora resistono al tentativo di trovare una dimostrazione).

La strada lunga e pericolosa verso gli Assiomi

Eppure non è stata certo breve o semplice la strada che ha portato alla bellezza ed eleganza post Hilbertiana degli assiomi. Ancora nel 1800 il rigore delle dimostrazioni matematiche non è quello che hanno fissato i successivi studi di logica matematica degli inizi del 1900 -certo va aggiunto anche, come diceva un professore di storia della Matematica, che Gauss, pur essendo vissuto prima di molti formalismi, non ha comunque mai dato una dimostrazione sbagliata.

Un episodio vale la pena di citare, lungo la strada verso la rarefazione che oggi accompagna il concetto moderno di assioma: Giovanni Girolamo Saccheri, un matematico e gesuita nato sul finire del XVII secolo riteneva, come molti matematici da Euclide in avanti, che il quinto postulato fosse deducibile dai primi 4 e che quindi non fosse un vero e proprio postulato ma che si potesse trovare un teorema che sfruttasse i primi 4 assiomi, da cui dimostrare il quinto. In particolare utilizzò una dimostrazione per assurdo (vedi articolo seguente) per ottenere ciò che a lui parve la dimostrazione dell'assioma.

In realtà Saccheri fu il primo a descrivere razionalmente che cosa si ottiene negando il quinto postulato. Ma ciò che ottenne (anche se non se ne rese conto) fu di mettere le basi per le geometrie cosiddette non-euclidee. Del resto il fatto storico è doppiamente interessante, oltre che per la geometria in sé, anche per il concetto stesso di dimostrazione per assurdo. Da dove nasce il concetto di assurdo? Qui sta il nocciolo di questo tipo di dimostrazione (della sua efficacia, in molti casi; del pericolo di errate interpretazioni in molti altri).

Alla vetta dell'ascesa: il teorema di incompletezza di Gödel

Eppure, come per effetto di un imprevedibile colpo di coda, il 900 ci ha regalato quello che potrebbe sembrare sia il culmine sia la sconfessione della strada di decostruzione e rifondazione della matematica stessa. Perché Kurt Gödel, è arrivato (con una dimostrazione che si basa, tra l'altro, sull'antichissimo teorema di infinità dei numeri primi) a poter dimostrare questo risultato più che soprendente (secondo teorema di incompletezza di Gödel, così come lo copio da Wikipedia):

Nessun sistema coerente può essere utilizzato per dimostrare la sua stessa coerenza

Quindi gli assiomi possono essere il mattone per enormi edifici matematici; ma non possono essere la base su cui si fonda la dimostrazione della loro stessa coerenza. Anzi, per primo teorema di incompletezza, esistono enunciati all'interno della matematica dei quali, pur essendo sintatticamente corretti, non è possibile dimostrare la correttezza.